materi

Sistem Persamaan Linier (SPL) dan Representasi Matriks

Formulasi Sistem Persamaan Linier (SPL), Matriks Teraugmentasi, dan Solusi Sistem

Kajian komprehensif mengenai pemodelan matematis Sistem Persamaan Linier (SPL) dengan mm persamaan dan nn variabel bebas, transformasi sistem simultan ke dalam bentuk persamaan matriks kompak Ax=bAx = b, serta analisis konsistensi solusi.

1. Formulasi Matematis SPL dan Representasi Matriks

Sistem mm buah persamaan linier dengan nn variabel tidak diketahui:

a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋮⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n &= b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n &= b_2 \\ \vdots \qquad \qquad & \quad \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n &= b_m \end{aligned}

Dapat ditransformasikan secara elegan menjadi persamaan matriks tunggal:

Ax=bAx = b

Dimana:

A=[a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋱⋮am1am2…amn],x=[x1x2⋮xn],b=[b1b2⋮bm]A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}, \quad x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}

Untuk menyelesaikan sistem komputasi ini, matriks koefisien AA dan vektor konstanta bb digabungkan menjadi Matriks Teraugmentasi (Augmented Matrix):

[A∣b]=[a11a12…a1nb1a21a22…a2nb2⋮⋮⋱⋮⋮am1am2…amnbm][A \mid b] = \left[\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} & b_m \end{array}\right]

2. Tiga Kategori Solusi SPL

  1. Solusi Tunggal (Unique Solution): Garis atau bidang persamaan saling berpotongan tepat di satu titik koordinat (sistem konsisten).
  2. Tak Berhingga Banyak Solusi (Infinite Solutions): Persamaan-persamaan bersifat dependen atau sejajar berimpit, menyisakan variabel bebas (free variables).
  3. Tidak Memiliki Solusi (Inconsistent / No Solution): Persamaan bersifat kontradiktif (misal menghasilkan baris [0  0  …  0∣k][0 \; 0 \; \dots \; 0 \mid k] dengan k≠0k \neq 0).

3. Berkas Pendukung Modul

Materi ini didukung oleh seri slide kuliah resmi: 3 AK KAL2025 Sistem Persamaan Linier Bagian 1.pdf, 4 AK KAL2025 SPLDV.pdf, 5 AK KAL2025 Sistem Persamaan Linier Bagian 2.pdf, dan 6 AK KAL 2025 Sistem Persamaan Linier Bagian 3.pdf.

Attachments

Back to Academics