Ruang Vektor (Vector Spaces), Subruang, dan Kombinasi Linier

Teori Ruang Vektor (Vector Spaces), Subruang, Kombinasi Linier, dan Basis Dimensi

Materi teoritis inti yang mengangkat konsep aljabar linier dari domain numerik menuju ruang abstraksi aksiomatis. Ruang vektor merupakan fondasi dari seluruh algoritma kompresi data, pemrosesan sinyal digital, dan representasi embeddings dalam model kecerdasan buatan (Large Language Models).

1. Sepuluh Aksioma Ruang Vektor Formal

Sebuah himpunan $V$ yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar dikatakan sebagai ruang vektor riil jika memenuhi 10 aksioma formal:

1. Tertutup terhadap penjumlahan: $\mathbf{u} + \mathbf{v} \in V$.
2. Komutatif penjumlahan: $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$.
3. Asosiatif penjumlahan: $(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$.
4. Eksistensi vektor nol $\mathbf{0} \in V$ sedemikian hingga $\mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{u}$.
5. Eksistensi invers penjumlahan: $\mathbf{u} + (-\mathbf{u}) = \mathbf{0}$.
6. Tertutup terhadap perkalian skalar: $k\mathbf{u} \in V$.
7. Distributif skalar terhadap penjumlahan vektor: $k(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = k\mathbf{u} + k\mathbf{v}$.
8. Distributif skalar terhadap penjumlahan skalar: $(k + m)\mathbf{u} = k\mathbf{u} + m\mathbf{u}$.
9. Asosiatif perkalian skalar: $k(m\mathbf{u}) = (km)\mathbf{u}$.
10. Uniter: $1\mathbf{u} = \mathbf{u}$.

2. Kombinasi Linier, Rentang (Span), dan Kebebasan Linier

• Kombinasi Linier: Vektor $\mathbf{w}$ disebut kombinasi linier dari vektor $\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k$ jika dapat dituliskan sebagai $\mathbf{w} = c_1\mathbf{v}_1 + \dots + c_k\mathbf{v}_k$.
• Bebas Linier (Linearly Independent): Persamaan $c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \dots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0}$ hanya dipenuhi oleh solusi trivial $c_1 = c_2 = \dots = c_k = 0$. Jika ada skalar non-nol yang memenuhi, maka himpunan vektor tersebut bergantung linier (linearly dependent).
• Basis dan Dimensi: Himpunan vektor yang bebas linier sekaligus merentang (span) seluruh ruang vektor $V$. Banyaknya vektor dalam suatu basis mendefinisikan dimensi ruang vektor tersebut.

3. Berkas Lengkap Rujukan Kuliah

Materi ini tersusun dalam tiga bagian slide terperinci: 10 AK KAL2025 VectorSpace01.pdf, 11 AK KAL2025 VectorSpace02.pdf, dan 12 AK KAL2025 VectorSpace03.pdf.